[미적분학] Class1: 삼각 함수와 쌍곡선 함수(그래프와 극한)(1) --- {역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수}

************  이 글은 PC 기준으로 작성되었습니다.   ************

들어가며...

    미적분학 카테고리의 첫 글을 포스팅하며, 여러 가지 공지를 하고 포스팅을 시작할까 합니다. 먼저, 미적분학 포스팅은 기본적으로 Thomas의 Calculus(13th edition)를 주 교재로 삼아 포스팅을 하겠습니다. 미적분학의 첫 시간은 삼각 함수와 쌍곡선으로 시작합니다. 실제 Thomas Calculus의 첫 단원은 함수와 그래프, 합성 함수와 Scaling에 대해서 다룹니다. 하지만, 이 부분은 포스팅에서 다루지 않아도 되겠다는 저의 판단 하에 다루지 않고자 합니다. 그래서, 삼각함수부터 포스팅을 진행하고자 합니다.

    그리고, 미적분학의 모든 부분을 다루지는 않습니다. 중요하게 여겨지고, 빈번하게 사용되는 부분에 대해서만 다루는 것을 최우선으로 하고 있습니다. 

1. 역삼각함수 (Inverse Trigonometric Function)

    1-1. 역사인함수 (Inverse Sine Function)

   우리는 사인함수를 아주 잘 알고 있습니다. 파동처럼 무수히 많은 주기가 반복되는 함수의 형태이죠. 역삼각함수는 말 그대로 사인함수를 역으로 옮긴 함수입니다. 역함수는 y=x에 대칭한 함수를 가리킵니다. 그래서, 우리가 역함수를 구하는 방법은 y와 x를 서로 자리를 바꾸고 x로 정리를 하면, 역함수를 구할 수 있습니다. 하지만 이때 매우 중요한 부분이 존재하죠. 바로

일대일 대응일 경우에만 역함수가 존재한다!

라는 점입니다. 하지만, 사인함수는 분명 일대일대응이 아닙니다. 어떻게 역함수를 만들 수 있을 까요?

바로, 구간을 설정해주는 작업을 통해 얻을 수 있습니다. 아래의 그림과 같은 사인 함수에서 일대일대응 구간은 어떻게 잡을 수 있을까요? 

 

    우리는 이 삼각함수에서 일대일대응 구간을 잡고, 이를 y=x와 함께 그려보면, 아래의 그림과 같이 얻을 수 있습니다.

    그럼 이제 Sine 함수가 일대일대응이 되었습니다. 그러면, 이를 y=x에 대해서 대칭이동시켜볼까요? 그러면, 우리가 사인함수의 역함수를 구할 수 있으니깐요. 

출처: https://bit.ly/2VKSn4b

    이렇게 구한 역사인함수는 사진과 같이 -1 제곱으로 표현을 가장 많이 합니다. 하지만, asin(x) arcsin(x)로도 표현할 수 있으며, 모두 같은 표현입니다. 이러한, 역사인함수의 특징을 생각해보면 이러한 특징이 있습니다(이는 모든 삼각함수에서 적용됩니다).

1. arcsin(sin(x))=x → sin(arcsin(x))=x
2. sin(T) = C → arcsin(C) = T       s.t. 이때 C, T는 어떤 변수를 가지고 있는 모든 함수가 될 수 있습니다.
3. 정의역: { x | -1 ≤ x ≤ 1 }    치역: { y | -π/2 ≤ y ≤ π/2 }

    이렇게 역사인함수를 구했습니다. 그런데 여기서 중요한 점을 하나 알고 넘어가야 합니다. 이렇게 역함수를 구하기 위해서 구간 설정해주는 데에는 제약이 있습니다. 바로 아래의 조건이 있습니다!

구간 설정을 통한 역함수를 구하는 과정은 주기함수 혹은 대칭함수에서만 유효하다.

    이 점을 명심해야 합니다. 아무 함수나 구간 설정을 하고 y=x에 대칭이동 시킨다고 해서 그것이 역함수가 아닙니다.

 

 

 

    1-2. 역코사인함수 (Inverse Cosine Function)

    역코사인 함수도 역사인 함수를 구했을 때와 동일한 방식으로 구할 수 있습니다. 한번, 코사인 함수를 보고, 일대일 대응구간을 직접 찾아보고, 진행을 해보셨으면 좋겠습니다!

출처: https://bit.ly/2NTIxbS

    코사인 함수의 경우, 다음과 같이 구간을 잡고, 역코사인 함수를 구할 수 있겠죠?

출처: https://bit.ly/31ESeTK

출처: https://bit.ly/2Aruk2O

    이렇게 구한 역코사인함수도 역사인함수와 마찬가지로 몇 가지 특성을 가집니다. 그 특성을 확인해볼까요? 그전에 역코사인함수도 cos의 -1 제곱으로(위의 사진과 같이) 표현이 가능합니다. 또한, arccos(x), acos(x)도 모두 같은 표현입니다.

1. arccos(cos(x))=x → cos(arccos(x))=x
2. cos(T) = C → arccos(C) = T       s.t. 이때 C, T는 어떤 변수를 가지고 있는 모든 함수가 될 수 있습니다.
3. 정의역: { x | -1 ≤ x ≤ 1}    치역: { y | 0 ≤ y ≤ π }

    이렇게 역코사인함수까지 구해봤습니다! 그럼 이제, 탄젠트(tangent)함수만 역함수를 구해보면 되겠죠? 역탄젠트함수는 더욱 쉽습니다. 1-3으로 가기 전에 직접 한 번 시도해보시고 더 읽는 것을 추천드릴게요!

 

 

 

    1-3. 역탄젠트함수 (Inverse Tangent Function)

    그럼, 역탄젠트 함수는 바로 구해볼까요? 탄젠트 함수는 일대일 대응 구간을 설정하기가 더욱 쉽겠죠? 탄젠트 함수를 머릿속으로 떠올리고, 구간을 잡고 탄젠트 함수의 역함수를 구해봅시다. 그렇다면, 아래 사진들의 과정을 통해 구할 수 있습니다.

출처: https://www.geogebra.org/m/tqMHfgPj

    어떤가요? 확실히 역사인함수와 역코사인함수를 구해보고 나니 역탄젠트 함수가 보다 쉽게 다가오는 것 같죠? 역탄젠트 함수는 위에서의 함수 표현과 같이 tan^(-1)(x), atan(x), arctan(x) 가 모두 같은 표현입니다. 그러면, 특성을 한 번 알아볼까요?

1. arctan(tan(x))=x → tan(arctan(x))=x
2. tan(T) = C → arctan(C) = T       s.t. 이때 C, T는 어떤 변수를 가지고 있는 모든 함수가 될 수 있습니다.
3. 정의역: { x | x ∈ R }    치역: { y | -π/2 ≤ y ≤ π/2 }

    이번에는 asin(x), arcsin(x)와 같은 표현으로 여러 개가 사용되는지 알아봅시다. -1 제곱의 표현이 가장 직관적이기는 합니다. 원래 역함수의 표현을 이렇게 정의했으니까요. 하지만, 시간이 지날수록 이것이 역함수의 표현인 것인지 -1 제곱, 즉 1/(sin(x))같이 실제 -1 제곱을 나타내는 표현인지 혼동이 일어났습니다. 그래서 추가로 역삼각함수의 표현이 헷갈리지 않도록 이렇게 추가했다고 볼 수 있습니다.

 

 

 

 

 

2. 쌍곡선함수 (Hyperbolic Function)

    2-1. 쌍곡선 함수란?

    쌍곡선함수는 별거 없습니다. 쌍곡선함수는 기본적으로 대수적으로 표현된 함수를 특정한 표현을 써서 정의한 함수입니다. 이렇게 말하면, 약간 이해가 힘들 것 같습니다. 일단, 백문이불여일견이라고 일단 봅시다. 

    쌍곡선 함수는 단순히 대수적인 표현을 이렇게 '정의'한 것입니다. 왜 이렇게 정의를 했냐하면, 이후에 공학 수학에 대해서 배우며 미분방정식을 풀게 되는데, 그 미분방정식의 해로써 매우 잘 나타나는 대수적 형태입니다. 그래서 그 대수적 형태를 위와 같이 정의한 것 뿐입니다. 더도 덜도 없습니다.

    그렇다면, 이 함수들은 어떻게 읽을까요? 삼각함수와 형태가 매우 비슷하게 생겼죠? 삼각함수 부분은 똑같이 sine(사인), cosine(코사인), tangent(탄젠트)로 읽습니다. 그리고 h는 Hyperbolic(하이퍼볼릭)의 준말입니다. 따라서 Sine Hyperbolic(사인 하이퍼볼릭), Cosine Hyperbolic(코사인 하이퍼볼릭), Tangent Hyperbolic(탄젠트 하이퍼볼릭)이라고 읽습니다. 

    모두 위와 같이 삼각함수의 역수가 각각 이렇게 표현되고 있다는 것을 아주 잘 알고 있을 것입니다. 삼각함수와 비슷한 만큼 역수의 표현도 똑같습니다. 그 역수 표현은 아래의 식과 같습니다!

 

    각각의 역수에 대한 함수는 이렇게 읽습니다. Cosecant Hyperbolic(코시컨트 하이퍼볼릭), Secant Hyperbolic(시컨트 하이퍼볼릭), Cotangent Hyperbolic(코탄젠트 하이퍼볼릭) 어떤가요? 쌍곡선도 어렵지 않죠?

    이렇게 되면, 쌍곡선 함수의 그래프를 안 볼 수가 없겠죠? 한 번 직접 대수적인 표현을 참고해 각 함수를 그려보거나, 머리로 생각해봤으면 좋겠습니다. 그러면, 쌍곡선 함수의 그래프를 직접볼까요?

1. sinh(x)  →  정의역 { x | x ∈ R }    치역 { y | y ∈ R }
2. cosh(x)  →  정의역 { x | x ∈ R }    치역 { y | 1 ≤ y }
3. tanh(x)  →  정의역 { x | x ∈ R }    치역 { y | -1 ≤ y ≤ 1 }

1. csch(x)  →  정의역 { x | x ∈ R, x ≠ 0 }    치역 { y | y ∈ R, y ≠ 0 }
2. sech(x)  →  정의역 { x | x ∈ R }             치역 { y | 0 ＜ y ≤ 1 }
3. coth(x)  →  정의역 { x | x ∈ R, x ≠ 0 }    치역 { y | y < -1, y > 1 }

 

 

 

    2-2. 쌍곡선 함수의 성질 (Properties of Hyperbolic Functions)

    우리는 고등학교때 삼각함수의 성질을 배운 적이 있을 것입니다. 이 쌍곡선 함수의 성질은 이 삼각함수의 성질과 비슷하면서도 다릅니다. 그래서 헷갈리기가 쉽습니다. 한 번, 두 함수들의 성질을 직접 비교하면서, 살펴볼까요? 증명은 대수적 표현을 통해 직접 대입하면, 바로 증명이 가능합니다. 따라서, 증명은 여기서 바로 하지는 않도록 하겠습니다. 그럼 표를 통해 성질을 살펴봅시다.

 

    정말 비슷하면서도 다르죠? 서로 조금씩 차이가 있답니다!

 

 

 

 

 

3. 역쌍곡선함수(Inverse Hyperbolic Functions)

    3-1. 역쌍곡선함수란?

    이 파트는 [1. 역삼각함수]를 보고 오셨다면, 바로 알아채셨을 것이라고 생각이 됩니다. 쌍곡선 함수의 경우, 일대일대응인 함수도 아닌 함수도 모두 존재합니다. 일대일대응인 함수의 경우는, 바로 y=x에 대해서 대칭이동만 시키면, 쌍곡선 함수의 역함수(정확히는 그래프)를 구할 수 있겠죠? 일대일 대응이 아닌 경우에는 일대일 대응의 구간을 구해서, y=x에 대해서 대칭이동 하면 쌍곡선의 역함수를 구할 수 있습니다.

          i) 일대일 대응인 경우; sinh(x), tanh(x)

    그러면, 바로 일대일 대응인 경우의 쌍곡선 함수의 역함수를 구하는 과정을 볼까요?

1. 동일 표현: asinh(x) = arcsinh(x)
2. sinh(arcsinh(x)) = x  ↔  arcsinh(sinh(x)) = x
3. 정의역: { x | x ∈ R }     치역: { y | y ∈ R }

1. 동일 표현: atanh(x) = arctanh(x)
2. tanh(arctanh(x)) = x  ↔  arctanh(tanh(x)) = x
3. 정의역: { x | -1 ＜ x ＜ 1 }     치역: { y | y ∈ R }

          ii) 일대일 대응이 아닌 경우; cosh(x)

    일대일 대응이 아닌 경우에는 위에서 한 것같이 구간을 설정하는 것이 가장 중요합니다! 위에서 역삼각함수를 공부하면서, 느꼈던 바를 생각해보면, 일반적으로 양수 구간을 선호합니다! 그렇다면, 일대일 대응이 아닌 쌍곡선 함수의 역함수는 어떻게 구할 수 있을까요? 아래의 과정을 봅시다.

1. 동일 표현: acosh(x) = arccosh(x)
2. cosh(arccosh(x)) = x  ↔  arccosh(cosh(x)) = x
3. 정의역: { x |  x ≥ 1 }     치역: { y | y ≥ 0 }

    어떤가요? 확실히 역삼각함수를 공부하고 나서, 쌍곡선 함수에 적용하니 훨씬 쉽게 느껴지죠? 

 

 

 

    3-2. asinh(x)의 대수적 증명 (Algebraic Proof of Inverse Sine Hyperbolic Function)

    쌍곡선 함수는 정확한 값을 얻기 위해 대수적 표현을 절대 빼놓을 수 없습니다. 그렇다면, asinh(x)는 대수적으로 어떻게 표현되는지 증명을 통해 알아보도록 합시다. 제가 써 놓은 증명 과정은 모두 영어로 작성되어 있습니다. 그래서 잠깐 각 단어가 의미하는 바를 집고 넘어가도록 할게요!

- Multiply: 곱하다    - Substitue: 치환하다 or 대입하다    - Quadratic Formula: 근의 공식 

    이 증명 과정에서 4번째 줄에서 마지막 줄로 넘어갈 수 있는 이유, 그리고 음의 부호가 제외되는 이유가 가장 중요한 부분입니다. 이 부분을 염두에 두고 각 과정을 따라가길 바랍니다.

 

 

 

    3-3. acosh(x)의 대수적 증명 (Algebraic Proof of Inverse Cosine Hyperbolic Function)

    이 함수도 마찬가지로 대수적인 표현을 알아보도록 합시다.

    이 증명도 마찬가지로 마지막 줄로 넘어갈 때에 왜 음의 부호가 제외되는지 생각하는 것이 가장 중요합니다. 이 부분을 고려해서, 직접 같이 증명해보도록 합시다!

 

 

 

    3-4. atanh(x)의 대수적 증명 (Algebraic Proof of Inverse Tangent Hyperbolic Function)

 

    이 함수도 마찬가지로 대수적인 표현을 알아보도록 합시다.

    위에서 잘 따라오셨다면, 여기선 왜 음의 부호가 사라졌는지 쉽게 알 수 있을 것입니다. 이렇게 세가지의 역쌍곡선 함수의 대수적 표현을 알아봤습니다.

 

 

 

 

 

오늘의 클래스는 여기까지입니다. 다음 클래스에서는 오늘 공부한 이 함수들의 미분 함수를 공부해보도록 하겠습니다! 질문은 댓글로 언제나 받습니다! 감사합니다! 오늘도 좋은 하루 보내시길 바랄게요~! 다음 클래스 포스팅으로 뵙겠습니다! 그때까지 안녕히 계세요~!!